Lý thuyết và bài tập Chương III môn Hình học Lớp 9 - Chủ đề 3: Các loại góc với đường tròn - Trương Quang Thăng

ai cung. Cung nằm bên trong góc được gọi là 
cung nhỏ (cung AnB ), cung nằm bên ngoài góc được gọi 
là cung lớn (cung AmB ). 
 + Cung AB được kí hiệu là AB . Để phân biệt hai cung có các mút là A và B ta kí hiệu 
AnB , AmB . Khi = 1800 thì mỗi cung là một nữa đường tròn. 
 + Cung nhỏ AnB gọi là cung bị chắn bởi góc AOB, còn AOB là góc chắn cung nhỏ AnB 
b) Tính chất: Góc ở tâm có số đo bằng số đo cung bị chắn 
 + AOB = sđAnB (số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn) 
 + sđAmB = 3600 - sđAnB (trong đường tròn số đo cung lớn bằng 3600 trừ đi số đo 
cung nhỏ) 
Ví dụ: Số đo cung AnB bằng 700 thì suy ra AOB = 700; 
sđAmB = 3600 - sđAnB = 3600 - 700 = 2900 
2.2. Góc nội tiếp 
a) Định nghĩa: 
a n m O 
A 
B 
Hình học 9 - Chương III: Chủ đề : Các loại góc với đường tròn 
Trương Quang Thăng – THCS Chu Văn An TP Kon Tum; email:quangthang@kontumcity.edu.vn 
Trang 11 
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây của đường 
tròn đó. 
 Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn. 
Hình vẽ: BAC là góc bội tiếp 
 Góc nội tiếp BAC chắn cung nhỏ BC 
Chú ý: khi nói cung BC mà không nói gì thêm thì ta hiểu là nói 
cung nhỏ. 
b) Tính chất: Góc nội tiếp có số đo bằng nữa số đo cung bị 
chắn. Góc BAC góc nội tiếp chắn AC BAC= 1
2
sđ AC 
c) Hệ quả: 
Hệ quả 1: Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau chắn 
các cung bằng nhau 
Hình vẽ: Nếu góc BAC bằng góc DEF thí cung BC bằng cung DF hay
 BAC DEF BC DF 
Hệ quả 2: Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung 
hoặc các cung bằng nhau thì bằng nhau. 
Hình vẽ: ACB ADB AEB AFB do cùng chắn một cung AB 
Hệ quả 3: Trong một đường tròn, các nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 
900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. 
Hình vẽ: 1MNP MOP
2
 do cùng chắn cung MP. 
Hệ quả 4: Trong một đường tròn, các nội tiếp chắn nửa đường tròn là 
góc vuông. 
Hình vẽ: 0ABC 90 , do góc nội tiếp ABC chắn nửa đường tròn O. 
2.3. Góc tạo bởi tia tiế... của (O)) 
Trên hình vẽ ta cũng có CAy ABC (do cùng chắn cung nhỏ AC) 
2.4. Góc có đỉnh bên trong đường tròn 
a) Khái niệm 
Góc DEB (hoặc AEC ) là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn. 
Góc DEB (hoặc AEC ) chắn hai cung, là cung DmB và cung AnC 
b) Tính chất 
Góc có đỉnh bên trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng số đo hai 
cung bị chắn. 
Ta có: 1DEB
2
 (sđDmB+ sđAnC ) 
2.5. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn 
a) Định nghĩa: 
Là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường 
tròn, hai cạnh của góc chứa hai dây cung, 
hoặc một cạnh chứa dây cung cạnh còn 
lại là tiếp tuyến hoặc cả hai cạnh là tiếp 
tuyến. 
Các góc đỉnh E ở hình bên đều là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn. 
Góc ở hình bên đều là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn chắn hai cung nằm trong 
góc. 
b) Tính chất 
Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. 
Trên hình 1 ta có: 1AEC
2
 (sđ AC - sđ BD ) (lấy số đo cung lớn trừ số đo cung nhỏ) 
Trên hình 2 ta có: 1AEC
2
 (sđ AC - sđ BC ) (lấy số đo cung lớn trừ số đo cung nhỏ) 
x
y
O
A B
C
n
m
E O
A
B
C
D
E
B
D\
B
O
E
O O
A\
C
C\
E
A
B
A
Hình 1 Hình 2 Hình 3 
Hình học 9 - Chương III: Chủ đề : Các loại góc với đường tròn 
Trương Quang Thăng – THCS Chu Văn An TP Kon Tum; email:quangthang@kontumcity.edu.vn 
Trang 13 
2.6. Quan hệ gữa cung và dây 
a) Quan hệ bằng nhau 
Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn hoặc trong hai đường 
tròn bằng nhau 
 -Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau; 
 -Hai dây bằng nhau căn hai cung nằng nhau 
Trên hình vẽ ta có: 
 AB = CD AB CD ; 
 AB CD AB = CD 
b) Quan hệ không bằng nhau 
Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn hoặc trong hai đường 
tròn bằng nhau 
 - Cung lớn hơn căng dây lớn hơn; 
- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. 
Trên hình vẽ ta có: 
 AB > CD AB CD ; 
 AB CD AB > CD 
 C) Quan hệ giữa hai dây song song 
Trong một đường tròn, hai cung nằm gữa hai dây song song 
thì bằng nhau. 
Trên hình vẽ ta có: MN // P...,ABy,AFB 
Giải 
-Góc AOB là góc ở tâm đường tròn và chắn cung AmB nên AOB = sđ 0AmB 120 
-Góc ACB là góc nội tiếp chắn cung AmB nên 1ACB
2
 sđAmB = 1
2
 .1200 = 600 
-Góc ABx là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bx và dây BA chắn cung AmB nên 
 1ABx
2
 sđAmB = 1
2
 .1200 = 600 
Góc ABy là góc tạo bởi tia tiếp tuyến By và dây BA chắn cung lớn AB nên 
 1ABy
2
 sđACB . Mà sđACB = 3600 - sđAmB = 3600 - 600 = 2700 
Suy ra 1ABy
2
 sđACB 1
2
 .2700 = 1350. 
-Để tính góc AFB ta tính số đo cung ngỏ CD: 
Ví góc AEB là góc đỉnh bên ngoài đường tròn nên 1AEB
2
 (sđ AB - sđ CD ) 
Hay 0 140
2
 (1200 - sđ CD ) 1200 - sđ CD = 2. 400 sđ CD = 1200 – 800 = 400 
Góc AFB là góc đỉnh bên trong đường tròn nên 
 1AFB
2
 (sđ AB + sđ CD ) = 1
2
(1200 + 400 ) = 800 
Nhận xét: 
 -Ta có thể viết nhanh ACB = ADB = 1ABx
2
 sđAmB= 600 (do cùng chắn cung AmB) 
 - Để tính góc ABy nhanh hơn ta sử dụng cặp góc kề bù tức là góc ABy kề bù với góc 
ABx 
Bài tập 3. Cho điểm M nằm ngoài (O). Vẽ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các 
tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MCD với (O) (C nằm giữa M và D). CD và AB cắt nhau tại E. 
Chứng minh: 
a) EA.EB = EC.ED 
b) MA2 = MC.MD 
c) Gọi H là giao điểm của AB với MO. Chứng 
minh MH.MO = MC.MD 
Giải 
a) EBC và EDA có : 
H
E
C
B
O
A
M
D
Hình học 9 - Chương III: Chủ đề : Các loại góc với đường tròn 
Trương Quang Thăng – THCS Chu Văn An TP Kon Tum; email:quangthang@kontumcity.edu.vn 
Trang 15 
 BEC DEA (ví đối đỉnh) và BCD BAD (cùng chắn cung BD) 
Do đó EBC ∽ EDA (g.g) 
Suy ra EB EC EB.EA EC.ED
ED EA
b) MA2 = MC.MD 
 MCA và MAD có : 
M chung và MAC MDA (cùng chắn cung AC của (O)) 
Do đó MCA ∽ MAD (g.g) 
Suy ra 2MC MA MA MC.MD
MA MD
c) Ta có : 0MAO 90 (di tiếp tuyến vuông góc với bán kính) 
Suy ra MAO vuông tại A 
Ta lại có: MAB cân tại M (do MA = MB – tính chất tiếp tuyến cắt nhau) 
Và MO là phân giác của góc AMB nên MO còn là trung trực của AB 
nên MOAB tại H. 
Tam giác MAO vuông tại A và có AH